Varianz: Bedeutung, Formel, Berechnung & Beispiele
Was bedeutet Varianz?
Die Varianz ist ein Maß in der Statistik, das dir zeigt, wie stark Werte um ihren Durchschnittswert schwanken. Sie gehört zu den sogenannten Streuungsmaßen. Während der Mittelwert nur den Durchschnitt angibt, verrät dir die Varianz, ob die einzelnen Werte nah am Mittelwert liegen oder ob sie weit auseinandergehen.
Sie gibt also Aufschluss darüber, ob die Daten stark oder schwach streuen. Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Werte sehr ähnlich sind. Eine große Varianz zeigt, dass es starke Unterschiede gibt. Damit liefert die Varianz wichtige Zusatzinformationen, die dir helfen, deine Daten besser zu verstehen und zu interpretieren.
Warum ist Varianz wichtig für die Datenanalyse?
Die Varianz ist wichtig, weil sie dir zeigt, wie aussagekräftig ein Mittelwert tatsächlich ist. Zwei Datensätze können denselben Durchschnitt haben, sich aber völlig unterschiedlich verhalten. Hier ein Beispiel: Zwei Klassen haben im Schnitt die Note 3,0. In der einen Klasse liegen fast alle Noten bei 3, in der anderen gibt es Noten von 1 bis 5. Ohne die Varianz würdest du diesen Unterschied nicht sehen.
In der Forschung und im Studium brauchst du die Varianz, um Ergebnisse zu bewerten, Hypothesen zu prüfen oder Risiken einzuschätzen, wie etwa bei der Analyse von Aktienkursen.
Wie lässt sich die Varianz berechnen?
Um die Varianz zu berechnen, benötigt man zunächst die einzelnen Datenwerte eines Datensatzes. Die Berechnung der Varianz folgt danach einem festen Schema:
- Berechne zuerst den Mittelwert der Daten.
- Ziehe den Mittelwert von jedem einzelnen Wert ab, um die Abweichung zu erhalten.
- Quadriere jede Abweichung, damit negative Vorzeichen wegfallen.
- Summiere alle quadrierten Abweichungen.
- Teile die Summe durch die Anzahl der Werte (bei einer Population) oder durch „n – 1“ (bei einer Stichprobe).
Das Ergebnis zeigt dir die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert. In der Praxis übernimmst du diese Berechnung meist nicht selbst, sondern lässt sie von Statistik-Software wie SPSS, R oder Excel durchführen.
Die Berechnung der Varianz erfolgt mit einer klaren Formel. Für eine Population teilst du die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert durch die Anzahl der Werte (n). Für eine Stichprobe teilst du durch n – 1, um die Varianz nicht zu unterschätzen. So erhältst du die durchschnittliche quadrierte Abweichung der Werte vom Mittelwert.
In der Praxis musst du die Formel nicht selbst anwenden. Statistikprogramme wie SPSS, R oder Stata nehmen dir die Berechnung ab. Dort gibst du deine Daten ein und wählst die entsprechende Funktion zur Berechnung der Varianz oder Standardabweichung.
Besonders bei großen Datensätzen oder bei komplexen Analysen ist das deutlich schneller und sicherer als manuelles Rechnen. Außerdem liefern diese Programme zusätzliche Kennzahlen, mit denen du deine Ergebnisse besser interpretieren kannst.
Auch in Excel kannst du die Varianz berechnen. Dafür gibt es mehrere eingebaute Funktionen:
- =VAR.P(Zahlen) berechnet die Varianz für eine Population.
- =VAR.S(Zahlen) berechnet die Varianz für eine Stichprobe.
Du musst lediglich deine Daten in die Klammern einsetzen oder den Zellbereich markieren. Excel liefert dir dann den Wert automatisch. Damit eignet es sich besonders gut für einfache Analysen im Studium oder bei kleineren Projekten.
Die Varianz hat mehrere wichtige Eigenschaften, die dir beim Umgang mit Daten helfen:
- Sie ist immer größer oder gleich null, negative Werte sind unmöglich.
- Eine Varianz von 0 bedeutet, dass alle Werte identisch sind.
- Je größer die Varianz, desto stärker streuen die Werte um den Mittelwert.
- Da die Werte quadriert werden, hat die Varianz die Einheit der Daten im Quadrat, z. B. cm².
- Ausreißer beeinflussen die Varianz stark, da sie durch das Quadrieren besonders stark ins Gewicht fallen.
Diese Eigenschaften zeigen, dass die Varianz einerseits sehr informativ, andererseits aber auch empfindlich gegenüber Extremwerten ist.
Es macht einen Unterschied, ob du die Varianz für eine ganze Population oder nur für eine Stichprobe berechnest.
- Bei der Populationsvarianz teilst du die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl aller Werte.
- Bei der Stichprobenvarianz teilst du durch „n – 1“ statt durch „n“. Diese sogenannte Bessel-Korrektur gleicht aus, dass eine Stichprobe die Varianz der Grundgesamtheit sonst unterschätzen würde.
Da du in der Praxis fast immer mit Stichproben arbeitest, solltest du auf die korrigierte Berechnung achten, um möglichst realistische Ergebnisse zu erhalten.
Die Standardabweichung ist eng mit der Varianz verbunden. Sie ist einfach die Quadratwurzel der Varianz. Der Vorteil: Sie hat dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten und ist deshalb leichter zu interpretieren.
Hier ein Beispiel zur Veranschaulichung: Bei Körpergrößen in Zentimetern liegt die Standardabweichung ebenfalls in Zentimetern, während die Varianz in Quadratzentimetern angegeben wird. Deshalb nutzt man die Varianz eher für mathematische Berechnungen und die Standardabweichung für die praktische Interpretation von Daten.
Anhand von Beispielen lässt sich Varianz leicht verstehen:
- Schule: Zwei Klassen haben beide einen Notendurchschnitt von 3,0. In der einen Klasse liegen alle Noten zwischen 2 und 4 (niedrige Varianz), in der anderen zwischen 1 und 5 (hohe Varianz).
- Sport: In einer Laufgruppe liegen die Zeiten sehr nah beieinander – niedrige Varianz. In einer anderen sind manche extrem schnell und andere sehr langsam – hohe Varianz.
- Wirtschaft: Aktienkurse mit hoher Varianz schwanken stark, während Staatsanleihen mit niedriger Varianz stabil sind.
Die Varianz ist ein zentrales Maß in der Statistik, weil sie zeigt, wie stark Daten um ihren Mittelwert streuen. Sie ergänzt den Mittelwert, indem sie sichtbar macht, ob Werte homogen oder heterogen verteilt sind. Berechnet wird sie aus den quadrierten Abweichungen vom Mittelwert – und sie bildet die Grundlage für viele weitere Verfahren, etwa die Standardabweichung oder die Varianzanalyse (ANOVA). Für deine Studienarbeit solltest du dir merken: Eine kleine Varianz bedeutet gleichmäßige Daten, eine große Varianz deutet auf starke Unterschiede hin.
Das könnte dich auch interessieren
{{headlineColumn1}}
{{headlineColumn2}}
{{headlineColumn3}}
{{headlineColumn4}}
Bildnachweis: „Varianz – Studenten arbeiten mit Statistikprogrammen“ ©Yakobchuk Olena - stock.adobe.com, „Varianz – Studentin berechnet Varianz mit Formel“ ©GaudiLab - stock.adobe.com